28 de junio de 2014

Sin Números

De repente, algo inexplicable ...

Su sorpresa inicial se convierte en angustia cuando descubre que el mundo tal como lo conoce se está colapsando. A través de los medios de comunicación, Sofía es testigo de las terribles consecuencias que tiene que afrontar una sociedad más dependiente de los números de lo que nos podemos imaginar.

Así se presenta el vídeo "Sin números" que acaba de producir un taller de documentales de la Universidad de Zaragoza.





En la presentación del vídeo, se dice también:

Todas esas situaciones dan lugar a un escenario de ciencia-ficción en el que las catástrofes esperables encuentran un desenlace sorprendente, en un documental elaborado por Marta Alcolea Gracia, del Departamento de Ciencias de la Antigüedad, Fernando Almazán Román, del Instituto de Nanociencia de AragónFernando Corbalán Yuste, profesor colaborador extraordinario, del Departamento de Métodos Estadísticos, Álvaro Lozano Rojo, profesor del Centro Universitario de la Defensa Zaragoza; Carlos Mazo Pérez, profesor titular del Departamento de Ciencias de la Antigüedad y María Palmira Vélez Jiménez, profesora Titular del Departamento de Historia Moderna y Contemporánea.

Más información:



Noticia vista en el blog ZTFNews 



22 de junio de 2014

No es tanta casualidad

Verbena de Sant Juan en una playa en Cataluña







Hoy se produce el solsticio de verano y ya pueden oirse los estallidos de algunos petardos, aunque aún no es mediodía. Ya se nota cierto ambiente festivo - a pesar de que aún faltan dos días para la verbena de San Juan - y seguramente no podremos dormir mucho durante esta noche corta y calurosa. Así que seguro que encontraremos algo de tiempo para resolver esta cuestión de lógica y matemática básica. 


Dos mujeres se encuentran en la calle y aprovechan la ocasión para hablar de esto y aquello. Al cabo de un rato, una de ellas dice:

- Oye, me gustaría plantearte una cuestión - es que sé que eres profesora de matemáticas. Resulta que hoy no es sólo el día de solsticio de verano, sino que además un día muy especial para mí. Tres de mis cuatro hijos cumplen hoy años. Podrías decirme la edad que tienen si te digo que al multiplicar las edades de los tres menores se obtiene 36.

- Claro que sí. Pero me tienes que decir algo más sobre tus hijos.

- Tienes razón. Si sumo las edades de mis cuatro hijos, obtengo el número del día de hoy, es decir, 21.

La matemática piensa unos instantes y dice seguidamente:

- Necesito un dato más.
- De acuerdo. No es tanta casualidad.

Os deseo una muy buena entrada en el verano ;-)

(AQUÍ puede encontrarse una respuesta a la cuestión planteada)

Esta entrada participa en la Edición 5.5: Ronald Fisher del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es pimedios.

12 de agosto de 2013

Diversión con pasatiempos geométricos en la playa

Ahora que estamos en verano, tenemos una buena ocasión para divertirnos con algo de geometría en la playa. Se pueden hacer unos castillos de arena geométricos muy bonitos, como nos lo demuestra también Calvin Seibert.
http://www.flickr.com/photos/45648531@N00/sets/72157594166672630/
Él los construye a lo largo de todo el año y suele combinar ingeniosamente diversas formas geométricas, pero también hace construcciones llamativas juntando únicamente paralelepípedos de arena bien compactos.
http://www.flickr.com/photos/45648531@N00/sets/72157594166672630/
Al observar estas construcciones o intentar construir unas similares, surgen muchas preguntas que requieren algo de ingenio y ayudan a activar las neuronas mientras uno se divierte. Algunas de ellas son, por ejemplo, estas cuatro:
ACERTIJO 1
Para empezar, pueden hacerse unas construcciones sencillas de arena formadas a partir de la colocación ingeniosa de 6 paralelepípedos de más o menos el mismo tamaño. La colocación tiene que cumplir unas condiciones a la vez que se considerará lo siguiente:
Un paralelepípedo se une a otro para formar otro paralelepípedo u otro cuerpo escalonado más grandes siempre que una cara o parte de la cara de un paralelepípedo entra en contacto con una cara o parte de una cara de otro paralelepípedo. Si se tocan únicamente en una esquina o arista, entonces se considera que los paralelepípedos en cuestión no se unen entresí formando un nuevo cuerpo.
Caso 1: ¿Cómo pueden disponerse 6 paralelepípedos para que cada uno de ellos se una con dos y sólo dos paralelepípedos?
Caso 2: ¿Cómo pueden disponerse 6 paralelepípedos para que cada uno de ellos se una con tres y sólo tres paralelepípedos?
Caso 3: ¿Cómo pueden disponerse 6 paralelepípedos para que cada uno de ellos se una con cuatro y sólo cuatro paralelepípedos?
ACERTIJO 2
En la figura siguiente puede verse un paralelepípedo grande formado a partir de 6 paralelepípedos (cubos, si las aristas tienen todas la misma longitud) pequeños de arena. La pieza entramada de la esquina se construyó en primer lugar poniendo en contacto cuatro cubos de arena. Esta primera pieza puede haberse formado de 2 formas. ¿Cuáles son?


ACERTIJO  3
En los cuerpos platónicos se cumple una relación matemática entre número de esquinas E, número de caras C y número de aristas A.
Cuerpos platónicos

Esta relación se cumple de hecho también en otros cuerpos geométricos como, por ejemplo, paralelepípedos, prismas, pirámides, etc. 

¿Qué expresión matemática tiene esta relación entre esquinas, caras y aristas?
¿Se cumple también en un cuerpo con forma de escalera como el que se ilustra a continuación (o como en el que se puede ver en el castillo de arena de la primera fotografía)?


ACERTIJO 4
Se tienen únicamente dos cubos de plástico para coger y dosificar la arena necesaria: uno de tres litros y otro de cuatro litros. 

Sin embargo, se necesita disponer ahora de exactamente 1 litro de arena para construir un cubo de 10cm de arista. ¿Es posible conseguirlo con estos dos cubos? Y si es posible, ¿cómo?
Es decir, ¿qué habría que hacer para llegar a tener exactamente 1 litro de arena en uno de estos cubos de plástico?

4 de agosto de 2013

Física en la piscina


Aquí una pregunta de física diaria para estos días tan calurosos de agosto, en los que apetece nadar o estar muy cerca del agua:

Un grupo de niños y niñas está divirtiendose en la pequeña piscina casi circular de aproximadamente 5 metros de diámetro. Han puesto a flotar en ella un pequeño bote inflable, lo han llenado con 40 piedras pesadas, se han subido al bote y, tras muchas risas, han empezado a tirar las piedras en la piscina. Uno de ellos se quedó fuera de la piscina y se quedó todo sorprendido mirando la superficie del agua.

¿Porqué? ¿Cómo varía el nivel del agua?
¿Cuándo es más alto? Cuándo las piedras están en el bote o cuando están en el fondo de la piscina?

Si tras pensar en el efecto del desplazamiento de agua por bote, niños y piedras, en el principio de Arquímedes y el efecto del empuje, quieres comprobar también experimentalmente como se comporta el nivel, pero no quieres llenar la piscina con piedras o no tienes ninguna piscina pequeña a tu disposición, puedes hacer un experimento similar con un vaso (si es graduado, mejor) u otro recipiente lleno de agua (representan la piscina), un tapón de plástico suficientemente hondo para que no se llene de agua al cargarlo (representa el bote) y una, dos o tres monedas (representan las piedras más pesadas o densas que el agua).

¿Te ha sorprendido el resultado del experimento?
o ¿acertaste con la respuesta antes de realizar el experimento?

Aquí puedes encontrar unos cálculos que respaldan y explican lo observado.

Nota: esta pregunta de física diaria es un ejemplo de pregunta curiosa que plantean a veces los seleccionadores en una entrevista de trabajo para poner a prueba el ingenio y rapidez mental de los postulantes.

30 de julio de 2013

Retazos de física viendo los mundiales de natación


Se está celebrando ahora el XV campeonato mundial de natación en Barcelona: un buen momento para plantearse algunas ideas sobre la física en la natación.

La natación es una actividad deportiva que se desarrolla a través de la interacción del nadador con el agua y esta interacción puede analizarse físicamente considerando básicamente los siguientes aspectos:
- el empuje que posibilita la flotación y que actúa en sentido vertical y hacia arriba;
- la propulsión que empuja el cuerpo hacia delante y que se consigue moviendo adecuadamente los brazos y las piernas;
- la resistencia del agua que actúa en contra del avance del cuerpo.

EL EMPUJE
Las personas podemos conseguir fácilmente flotar sobre la superficie del agua gracias a la fuerza de empuje que aparece cuando se sumerge un cuerpo en un fluido (líquido o gas). Un cuerpo flota cuando su peso P es igual en magnitud al empuje E. Si, en cambio el peso del cuerpo es superior al empuje (P>E), el cuerpo baja hasta el fondo, es decir, se hunde. Según el principio de Arquímedes, la fuerza de empuje E, que actúa hacia arriba, es igual en magnitud al peso del volumen de fluido (agua) desalojado por el cuerpo:
E = DA·VAD· g
(densidad del agua por volumen de agua desalojada (= volumen de la parte del cuerpo sumergida en agua) por la constante de atracción de la tierra)
El peso, que actúa hacia abajo, viene dado según la segunda ley de Newton por:
P = m·g = DC·VC· g
(densidad media del cuerpo por volumen total del cuerpo por constante de atracción de la tierra)
Por consiguiente, el cuerpo flota a un nivel en el que desplaza exactamente el agua suficiente para que:     E (fuerza de empuje ascendente) = P (fuerza peso descendente)

Las densidades juegan por tanto un papel clave: si el cuerpo tiene una densidad media menor a la del agua (DA= 1000kg/m3 si es agua dulce y ~1025kg/m3 si es agua salada), flotará en la superficie, porque su peso es menor que el del agua desplazada por todo su volumen. Esto se cumple generalmente en el caso del cuerpo humano (densidad media ~ 970kg/m3). No obstante, l@s nadador@s que tienen huesos más pesados y una capacidad de aire contenido menor, al tener una densidad corporal mayor, se hunden algo más en el agua, aunque siguen flotando, y esto es una desventaja en las competiciones de natación.
Para una buena utilización del empuje y mejorar la velocidad al nadar y el aguante, la posición del cuerpo en el agua es también decisiva. Hay que tener aquí en cuenta que hay dos puntos de aplicación de fuerza: el centro de gravedad (CG) y el centro de flotación (CF).
El centro de gravedad CG, que representa la posición media de toda la masa del cuerpo y es el punto de aplicación de la fuerza de gravedad o peso, se encuentra en el ser humano, cuando está en posición recta y con los brazos pegados a los costados, aproximadamente a la altura del ombligo debido a que la zona de las piernas tiene una mayor densidad que la de los pulmones llenos de aire. Una característica del centro de gravedad es que si, por ejemplo, se coloca verticalmente debajo de él una cuña de balanceo, el cuerpo se mantiene en equilibrio porque el peso está ditribuido equitativamente a los dos lados de la vertical (véase la siguiente imagen).
El centro de flotación CF es el centro de gravedad del volumen del líquido desplazado (igual al volumen de la parte sumergida del cuerpo) que coincide con el centro geométrico del volumen (por ser la densidad uniforme en todo este volumen de agua desplazada) y es el punto de aplicación de la fuerza de empuje ascendente. En el ser humano flotando en agua, su posición se encuentra en una posición más próxima al centro del pecho.



Cuando el centro de gravedad y flotación no se encuentran sobre la misma línea de aplicación vertical (casos a y b en la figura), se produce un movimiento rotatorio con el que se hunden más las piernas (parte más pesada del cuerpo) hasta que el centro de gravedad y el de flotación se hallan en la vertical (caso d).
Pero se nada mal y avanza muy poco cuando las piernas cuelgan hacia abajo (en esta posición se aumenta la resistencia del agua).
Para evitar el hundimiento de las piernas, se recomienda respirar abdominalmente y no torácicamente para desplazar así el centro de flotación más hacia el nivel del ombligo. Otra forma para conseguir una flotación más horizontal consiste en estirar los brazos por encima de la cabeza, consiguiéndose así que el centro de gravedad se acerque más al centro del pecho y coincida casi con el centro de flotación (caso d), anulándose por tanto prácticamente la tendencia al giro.

PROPULSIÓN Y RESISTENCIA
Para avanzar en el agua, el deportista tiene que empujar agua para "rebotar" en sentido opuesto. Es decir, tiene que hacer uso del principio de acción y reacción descrito por la tercera ley de Newton. Con la realización de unos movimientos de brazos y piernas según una técnica de natación optimizada, puede conseguir que éstos le proporcionen la máxima propulsión con la menor resistencia posible. En la natación a braza, por ejemplo, tiene que moverse de forma que la fuerza que ejerce sobre el agua sea máxima cuando desplaza los brazos hacia atrás y mínima cuando los vuelve a estirar hacia delante para poder volver a empujar hacia atrás en la siguiente brazada.
Movimiento de brazos y piernas en la natación a braza
Esto lo consigue orientando transversalmente las palmas de sus manos con respecto a la dirección de desplazamiento y poniéndolas en forma de cuchara cuando las desplaza enérgicamente hacia atrás (fase de tirón). En cambio, en la fase de recobro o retorno, debe procurar que la superficie frontal de manos y brazos sea la mínima posible para que la resistencia del agua y el frenado sean lo más pequeños posibles.
Posición de manos para reducir la resistencia en la fase de recobro
Para disminuir la resistencia del agua y su efecto de frenado, pueden tomarse de hecho distintas medidas según el tipo de resistencia::
Para minimizar la resistencia por rozamiento, que depende de la estructura superficial del cuerpo en movimiento y que se origina por el agarre de particulas de agua a la superficie del nadador, puede utilizarse un gorro de baño o optarse por el rasurado de la cabeza, utilizarse un traje de baño de baja fricción e incluso someterse a un afeitado corporal.
Las resistencias de forma y al flujo, que depende de la forma del cuerpo y de los remolinos de agua que se forman al final del cuerpo y actúan en contra del sentido de avance, pueden disminuirse con movimientos y posturas apropiados. 
Mediante los movimientos optimizados para los distintos estilos de natación se generan de hecho también efectos de empuje hidrodinámicos que facilitan el desplazamiento en el agua.

Más sobre el tema:
- Flotación y estabilidad, Recursos para escolares de Planetseed.com
- Biomecánica de la natación. Klaus Reischle. Ed. Gymnos. Madris 1993

22 de julio de 2013

Ingenio matemático con aire acondicionado al 100%








La noche está al caer y tres jóvenes viajeros deciden parar en el primer Motel que ven y que aún tiene habitaciones libres. ¡Tiene además aire acondicionado en todas las habitaciones!

El precio para una habitación de tres camas es de 90 € por noche.
Como sólo van a quedarse una noche, cada uno paga sus 30 € por adelantado y se retiran luego directamente a la habitación porque están cansados y piensan partir al día siguiente a primera hora de la mañana.
Al cabo de un rato, el propietario del motel se da cuenta que el precio de la habitación para ese día de la semana es de sólo 85 €. Coge 5 € de la caja y pide a su ayudante que los devuelva a los tres huéspedes. El ayudante se da no obstante cuenta de que no se pueden repartir equitativamente cinco euros entre tres personas y decide por tanto que lo mejor es darles sólo tres euros.
Los tres jóvenes han pagado así pues finalmente 30-1= 29 € cada uno, o sea, 87 € en total. El ayudante del motel se quedó con 2 €, esto hace 87+2= 89 €.
¡Pero al principio se pagaron 90 € y no 89 €!
¿Dónde está el euro que falta?

Nota: esta anécdota con pregunta sorpresa es un ejemplo de pregunta curiosa que plantean a veces los seleccionadores en una entrevista de trabajo para poner a prueba el ingenio y rapidez mental de los postulantes.
Solución

9 de julio de 2013

Hasta donde alcanza la vista

Ya estamos en verano y con las vacaciones escolares se han multiplicado también las ocasiones de disfrutar del contacto con la naturaleza y de elucubrar sobre pequeños y grandes enigmas que nos rodean....

Cuando paseaba esta madrugada por el parque agrícola de Collserola (Sant Cugat del Vallés, Barcelona) hice unas pocas fotos ........

Campo de trigo junto a la entrada de Sant Cugat del Vallés al parque de Collserola

y me plantee la pregunta de cuán lejos podría estar el horizonte que distinguía a simple vista al estar en medio de un campo llano en el que no hay elementos que ocultan su visión (árboles, edificios, etc.) ni condiciones atmosféricas adversas (niebla, calima, luuvia, etc.) y de cómo variaría el alcance de la vista si mirase el horizonte desde un mirador o posición de observación más elevada.

Unas vistas muy bonitas sobre el horizonte se tienen desde luego también cuando se está junto al mar o en un velero, siempre y cuando las condiciones atmosféricas sean lo suficientemente buenas.

Cap Roig en la Costa Brava


Una respuesta aproximada a estas preguntas puede deducirse partiendo del bien conocido teorema de Pitágoras.
Aquí un dibujo colorista que he hecho para ilustrarlo mejor:




La tierra no es una esfera perfecta, pero para una estimación aproximada del alcance de nuestra vista hasta el horizonte podemos considerar aceptablemente que tiene un radio medio de 6370 km.

En el triángulo rectángulo del dibujo (el ángulo entre x y r es de 90º):
es el alcance de la vista o distancia hasta el horizonte
es el radio medio de la tierra
r + s  es la distancia del observador al centro de la tierra y
s la altura de observación (altura de los ojos con respecto al suelo terrestre

Según el teorema de Pitágoras:                 x2 + r2 = (r + s)2

que despejando da:                                       x2 = 2rs + r2 = 2rs + s2 = (2r + s) s

Al ser el radio de la tierra mucho mayor que la altura de observación, podemos despreciar su contribución a la suma escrita entre paréntesis, por lo que:                  
                                                                     x2 ≈ 2rs = 12.740 * s

Por consiguiente, el alcance de la vista hasta el horizonte (o distancia geométrica hasta el horizonte) puede calcularse mediante la siguiente fórmula muy sencilla:

                                                             x [en km] ≈ 113 * √¯s [en km]
                                                             x [en km] ≈ 3,57 * √¯s [en m]

Para un observador de s = 1,70 m = 0,0017 km de altura, la distancia hasta el horizonte que alcanza ver cuando las condiciones atmosféricas son buenas es de aprox. 4,6 km. Si lo observase desde una plataforma de 30 m de altura (las plataformas de observación en los veleros tienen en promedio una altura s = 0,03 km), entonces el alcance de su vista hasta el horizonte sería ya, según la fórmula, de casi 20 km.

No se han considerado en esta primera aproximación efectos de refracción atmosférica que según las condiciones climatológicas pueden modificar en un factor más o menos grande el alcance de la visión. En el mundo de la náutica, suelen considerarse frecuentemente aplicando un factor de corrección promedio a la fórmula arriba indicada.

Cuando se está junto al mar o se viaja en barco puede observarse también que a veces sólo pueden verse las superestructuras de un barco lejano y no todo su cuerpo o sólo los picos de la montaña de una isla, porque el resto queda como por debajo del horizonte, como ilustra el siguiente dibujo:

¿Qué distancia máxima puede haber entonces desde un punto de observación de s metros de altura hasta la cima de una montaña de altura b que se alcanza observar sobre el horizonte de un paraje llano? ¿Hay también una fórmula sencilla que permita determinar aproximadamente esta distancia en ausencia de perturbaciones atmosféricas y efectos ópticos de refracción? 

Visión del perfil montañoso de Mallorca desde el observatorio  Fabra de Collserola, Barcelona (413 m)
Foto de Alfons Puertas Castro, tomada el 7 de dic. de.2010 hacia las 14 horas